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GB／T 17989.4-2020 控制图 第4部分 累积和控制图

1）水平线表示目标值或参照值； 2）下降曲线表示平均值小于参照值或目标值：曲线越陡，偏差越大； 3）上升曲线表示平均值大于参照值或目标值：曲线越陡，偏差越大。 c）它可以进行调查目的的回顾性分析，并可以在受控运行的基础上进行短期性能预测。 由b)可知，累积和控制图具有清楚显示过程变点的能力，这些变点可通过累积和图的梯度变化清 晰显示。这对过程管理会有巨大帮助，因为累积和图能够快速、精确地定位过程变化的时间点，进而采 取适当的纠正措施。 累积和系统的一个非常有用的特点是，它可以不画图，直接采用表格形式。如果累积和系统用来监 空一个高技术性过程（例如，塑料薄膜制造），这是很有帮助的，这时过程参数和产品特征的数量巨大。 该过程的数据可以自动获取，下载到累积和软件进行自动化的累积和分析。然后，可以同时提醒过程管 理者警惕多个特征的变化。附录B给出了该方法的一个例子

5累积和图构建的基本步骤

对单个观测值数据，建立累积和控制图步骤如下： 步骤1选择一个参照值、目标值、控制值或基准值。过去结果的平均通常会提供良好的参照。 步骤2把这些结果按照有意义的顺序（例如，时序）制成表格。然后，对每个结果都减去参照值。 步骤3将步骤2中得到的数值逐步求和。然后，将这些求和绘制成一个累积和图。 步骤4为了达到最佳视觉效果，在绘制的点子之间绘制一个不宽于2.5mm的水平刻度（设置绘 制点之间的水平刻度不宽于2.5mm）。 步骤5为合理辨别，避免过度敏感性，推荐采用如下措施： a） 为横坐标选择合适的标绘时间间隔，同时，令纵坐标的同一间隔等于2（如果绘制均值累积 和，则为20。），并进行适当舍人； b 当要求检测一个已知的变化（比如，)时，选择纵向刻度，使纵向单位刻度与水平单位刻度的比 值介于和28之间，并进行适当舍入。 注：刻度的选择在视觉上是非常重要的，因为不适当的刻度会引发累积和图的不稳定性，从而产生灾难即将到来的 印象，或者没有发生变化的错觉。a)和b)宜以合理的方式给出显示变化的一个尺度，使之既不太敏感，又不太 退钝

假设对于电机生产过程的某一特征，得到了时序排列的一组40个观测值。它们是在生产的早期阶 段，接照生产顺序记录的不同功率电机的电压值。不过JB/T 8941.2-2014 一般用途罗茨鼓风机 第2部分：性能试验方法，它们可以是接照某种有意义的顺序采集、使用 连续刻度表示的任何单个观测值数据。具体数值如下： 9，16，11，12，16，7，13，12，13，11，12，8，8，11，14，8，6，14，4，13，3，9，7，14，2，6，4， 12,8,8,12，6，14，13，12,14，13，10，13，13。 参照电压值或目标电压值为10V

为了更好地理解该过程的潜在表现，通过确定模式和趋势，一个标准的方法就是按照这些数值的 页序简单描点，如图1a）所示， 相对于高的起点和中等高的结尾，在中间部分有一个总的下降偏移，除此之外，图1a)没有多少

示，因为数据存在极大的噪声、波动尖刻和数据贯

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更复杂一点的是对单值数据，建立一个常规控制图，如图1b）所示。 图1b)甚至比图1a)的启示更少。实际上，它是相当误导的。对可接受的过程稳定性和控制状态， 标准的统计过程控制检验准则是： a）没有数据点落在上控制限（UCL)以上或下控制限（LCL）以下； b）没有连续7个或更多的间隔都是向上或向下的； c）没有连续7个点都落在中心线上方或下方。 图1b)对所有这些准则的回答是“不”。因此，有人可以得出这是一个稳定过程的结论，因为它在目 标值10V左右的总平均值附近“受控地”波动。进一步的标准化分析会发现，尽管该过程是稳定的，但 它不满足技术规格要求。然而，对于为什么没有能力满足技术要求，该分析自身不能提供任何进一步的 线索。 这里单值常规控制图无能为力的原因是，其控制限是根据实际的过程表现确定的，而不是根据期望 的或指定的要求确定。因此，如果过程本身展示了很大的偏差，相应的控制限就会很宽。为了帮助确定 并消除主要的变异源，所需方法要能更好地显示模式和趋势，甚至能精确定位变点。 注：通过使用其他工具，如单值和移动极差图，工作人员可以研究其他的过程变异间题

6.4累积和的图形展示

还有一个值得推荐的选择，就是画累积和图。图1c)给出了该数据的累积和图。 从图1来看，不能直接、明了地看出过程有没有或者在哪里发生了任何显著的变化，然而，累积和图 显示了一种意义明确的模式。最优的拟合结果（目测）表明过程水平发生了4个变化，具体变化分别发 生在第10号、第18号和第31号电机的位置。 注意第4章指出，向上（向下）曲线表示该数值比基准值高（低），而水平线则表示过程处于基准值 上。因此，可以看出该过程仅在第11号～第18号电机之间的短暂时间内处于目标值。和第33号电机 以后的类似，第1号第10号电机以高电压运行，而第19号～第32号电机之间的过程则以低电压 运行。 这些变化及其重要性将在6.6进一步详细讨论和解释。 在现实生活中，接下来将会找出在这些生产点上发生了什么操作问题，导致电压性能发生如此变 化。这直接对改善电压性能保持在10V水平上的一致性提出了一些问题。例如，如何使32号电动机 的构建特征与33号不同？或者，在该点的试验齿轮校准中发生了什么问题？这与偏移、人员或批次变 化对应吗？等等。不管什么情况，按照这种方式使用，累积和图都是一个极好的诊断工具。它能指出改 进的机会

如该例所示，根据第5章给出的简单步骤，使用单值数据构建累积和图。 步骤1选择一个参照值RV。这里，基准值或参照值设定为10V。 步骤2如表1第2和6)列所示，按生产顺序并与电机编号对应，表格化记录电压值；对每个电压 值减去参照值10，记录在表1第3（和7）列中。 步骤3对表1的第3（和7)列中的数值逐步累加，并将结果记录在第4（和8)列中。按观测值（电 机)编号，在图1c)中绘制第4（和8)列数值，注意第5章步骤4和步骤5之后“注”中的刻度注释

表2用来描述累积和图基本解释的虚拟电机数据

所得累积和图，如图2所示。

图2虚拟电机电压数据的累积和图

通过对比表2第2列中的实际电压值与图2中的累积和图，可以看出： a）电机1号～3号、7号～9号和13号～15号全部在参照值10V上，它们全由累积和图的水平 线来表示。同时注意，该水平线的纵坐标刻度与这些电机的实际电压没有关系，而与先前电机 的性能相关。 b） 电机4号～6号的电压比参照值高13V，而且这些电机由累积和图中向上的斜线来表示。显 然，这些电机的电压值没有变异，使问题变得简单。如果数据存在噪声，则根据一段特定的斜 线来计算平均值，见式（1）。 （线段结束处的累积和值一线段开始处的累积和值 平均值=参考值十 介于观测区间的观测数量 ·（1)

c）同理.对电机9号～12号

Vav=10+ =13

d）对电机16号~18号

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=9 /ng=10+

综上，累积和图2中不同的斜线段表明： 电机1号～3号、7号～9号和13号~15号的电压恒为10V； 电机4号6号的电压恒为13V； 电机9号~12号的电压恒为9V； 电机16号18号的电压恒为8V。 通过回溯上述“无噪声”数据，这些结论是明显的。但对表1第2列和第6列中的真实“噪声”数据， 洁论就没有那么明显了。

6.6.3使用真实数据的解释

图1c）中的累积和图表明： a）电机1号10号的平均电压水平要比参照电压值高。该计算值可根据斜线段算出，见式（2 （线段结束处的累积和值一线段开始处的累积和值 平均值=参考值十 介于观测区间的观测数量

b）同理，对电机11号～18号，平均电压值=10V，因为对应的线段是水平的 ）对电机19号~31号

d）对电机32号～40号

Vag=10+ =12 V 10

综上，累积和图能计算与实际工艺性能相匹配的可变周期移动平均值。相对于常用的、标准的、预 定不变的移动平均方法，这是一个相当大的进步。结果的整体估计见表3。 作为上述累积和斜率与平均电压之间关联关系计算方法的替代，对累积和图的每个恒定水平部分， 可以简单计算局部移动平均值。 例如.对电机1号～10号，可以计算

表3可变移动平均周期的电机平均电值

这种使用单个电压值的方法有时候会得出与斜率方法稍有差异的结果。这是因为使用一条直线

代替一系列单个数据点，使数据的局部变化平滑

任建立电压水平变点的估计，开得到 步简化和加强该表示方法，经常发现可以方便地按照“无噪声”数据方式进行数据外推。该方法受到曼 哈顿直线轮廊的启发，因此被称为曼哈顿图， 与以电机生产顺序绘制的电压常规图类似，6.6.3中的a）、b）、c)和d)所展示的只是结果的一种表 示方法。作为与图1c)中累积和数据和图1a)中原始噪声数据的对比，其结果如图3所示

图3电机数据的曼哈顿图

在图3中，通过过程性能的回顾性分析，以调查的方式概括了累积和方法的作用和价值。它们用易 于理解的语言和简单视觉增强方法，展示了累积和图的效果，没有引人或使用数学符号和正式的统计表 达式。 由于曼哈顿图的简明特性，把累积和图作为中间技术阶段，并用曼哈顿图的形式简单展示数据，对 便于广泛的非技术交流、理解和应用，有时会有很大帮助

判定准则可能需要用于累积和图解释的合理化。当满足某项适用的判定准则时，根据过程性质采 取某项措施。典型的措施有： a）对于过程控制，调整工艺条件； b） 在过程改进中，进行变化深层次原因的调查；

建立基本准则，显然是作出决策的一个必要前提。 为了给检测信号提供有效的基础，需要对系统的“噪声”进行适当的量化测量。什么代表噪声与 代表信号，由采取的监控策略决定，例如，进行多少次观测、采样频率，与样本或子组如何组成。另

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7.3判定准则的有效性度量

一个判定准则的理想表现是，对于至少一个预定大小实际变化的发生可以立即被检测到，而对于

表4累积和图判定准则有效性的ARL表现

7.3.2平均链长计算示例

ARL的概念并不是累积和专用的。对于标准的常规（休哈特）控制图，控制限设置为距离中心线正 负3倍标准差。图4给出了常规控制图在正态分布下的描述。 对所展示的分布是所谓的“标准化形式”，即具有零均值和单位标准差

从图4可以看出，当过程的平均值处于中心线或目标值时，预期平均各有0.135%的观测值超出上、 下控制限。通过计算1/0.00135=741，容易将其转化为平均链长（ARL）。换言之，可以预期，每741次 观测平均有一个观测值超出上控制限。该值会触发水平变化的一个错误信号，而事实上，该变化并没有 发生

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因此，实际中，需要设计一个控制系统，确保过程在目标值水平运行时具有高ARL。 在考虑双侧控制限时，过程均值处于目标值时，ARL值减半，其值为1/（0.00135十0.00135） 370。 假定过程均值向上控制限偏移1倍标准差。预期会有2.28%的观测值处于上控制限之上。那么， 对该单边控制限，上控制限（UCL）ARL变为1/0.022844。换言之，对均值的1倍标准差偏移，每 44次观测平均发出一个偏移信号。 在考虑双侧控制限时，当过程均值远离下控制限（LCL）4倍标准差时，预期只有0.0032%的观测 直低于LCL。正如1/（0.000032十0.0228)对单侧控制限ARL的计算没有实质影响，对于均值1倍标 准差的偏移，双侧控制限的ARL与单侧控制限的ARL近似相等，即44。 综上，得到如表5所示的结论

当然，在实践中，像添加警戒限、均值以上和以下的链等其他报警准则，可以确保更快地检测到偏 移，但代价是增加过程处于目标值时的虚警。常规控制图是非常有吸引力和流行的，因为它极其简单， 而且在检测导致大偏移的单一特殊原因方面非常有效。 然而，要认识到，常规控制图对告警大偏移之外的情形存在固有限制，即使坚称不会严重损害误警 程度。这表明需要有一种完全不同的方法，既能更快地检测到偏移，又能在过程处于目标值时保持长的 平均链长。累积和方法就非常适合

8累积和图判定方案类型

使用累积和图的最简单判定准则体现在V型模板上。V型模板有4种稍有不同的模板类型，但它 们的原理和作用相同。它们的目的后续阐述。它们是： a 截顶V型模板； b） 半抛物线V型模板； 扁平鼻V型模板； d)完全型模板。

图5介绍了一种通用截顶V型模板。它包括一个基点，在图中记为O。从基点出发的两条垂线 OB和OC，其长度均为5c。（即H=5c.）。这两条线被称为判定区间。两条倾斜臂BA、CD称为判定 线，可以根据需要延长来覆盖所绘制的累积和点子。在尺寸上，EO的长度等于10倍的观测区间，EA 和ED的垂直距离均为10g（即，给一个F=0.50.的梯度）。

图5通用截顶V型模板的结构与尺寸

准差为0.2的过程变量，图6显示了一个实际尺寸的截顶V型模板。这里采用标准差，而不是 因为该专用模板是设计用来监控单个观测值的，而不是均值

准差为0.2的过程变量，图6显示了一个实际尺寸的截顶V型模板。这里采用标准差，而不是 因为该专用模板是设计用来监控单个观测值的，而不是均值

8.2.2截顶V型模板的应用

将基点置于累积和图的某个选定绘制值上，基线与控制图水平对齐。对于正在进行的监控过程，常 常以最近的观测点作为选定绘制点。 如果累积和轨迹落在模板倾斜臂以内（或A、D的延长线之内），表示一直到该绘制值，过程均值没 有发生显著偏移。对受控情形，则称该过程相对于目标值，处于统计受控状态。然而，如果累积和的轨 迹游走到模板倾斜臂以外，则发出显著偏离目标值的信号。在过程管理中，则称该过程处于失控状态。 图7介绍了一个受控过程与两个失控过程。在受控过程中，没有检测出显著偏离目标值的偏移。 两个失控过程，一个带有显著的向下偏移，另一个则显示显著的向上偏移。在图7的三种情形下，标准

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a）相对于累积和目标值，过程均值没有显著变化

c）相对于累积和目标值，过程均值显著上升

根据绘制变量的标准差或标准误差，图8所给出尺寸的通用截顶V型模板之平均链长（ARL）的性 质列于表6之中。将累积和ARL与控制图国际公认标准方法的两种判定准则进行对比。 这两种规则是： 休哈特准则1：有1个点子距离中心线超出土3倍标准差，即行动限或控制限； 休哈特准则2：连续2个点子距离中心线超出土2倍标准差，即警戒限。 注1：假定绘制变量服从标准差为。的正态分布。 注2：这里，平均链长是就均值的单侧控制图而言的。如采用单一目标值的双侧控制图，在目标值处的ARL减半 （误警率将翻倍），但对均值的大偏移，其ARL不受影响。 注3：标准累积和是指h（判定区间高度）=5.0、F（判定线斜率）=0.5的组合方案，如图5所示。休哈特行动限只与 休哈特准则相关。休哈特行动限和警戒限是休哈特准则1和休哈特准则2的组合应用

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表6图5之通用截顶√型模板与两种准则下休哈特控制图，在不同偏移下的平均链长比较

平均运行链长是判定决策方法有效性的一个指标： 在目标值处，ARL越大，误警概率越低； 均值偏离目标值的ARL越小，检测出该变化就越快。 从图8和表6，可以得出如下结论： 累积和控制图的受控平均链长L。（零偏移的ARL)长于带行动限的休哈特控制图，而同时带 有行动限和警戒限的休哈特控制图的受控平均链长则远小于累积和控制图。因此，在这三种 控制图当中，累积和控制图的误警率最低，而同时带有行动限和警戒限的休哈特控制图的误警 率最高。 b）对于多达2o。的偏移，累积和图的ARL小于另外两种控制图，表明累积和图对偏移的平均响 应更快。对0.4g。~1.4g。区间，尤其如此。 对于超过26。的偏移，同时使用行动和警戒准则的常规控制图比累积和图的响应更快。对于 超过2.46。的偏移，同时带有行动限和警戒限的常规控制图比累积和图的响应更快。然而，常 规控制图的快速响应是以

8.2.4平均链长述评

表7标准差G,的不准确估计对ARL的影响

8.3可替代的设计方法

为了在更广泛的均值偏移下，提高监控性能特征，一种替代设计方法是使用半抛物线V型模板（见 8.4）、扁平鼻V型模板（见8.5)或快速初始响应（FIR）的累积和图（见8.7）。 表8给出了标准截顶V型模板与上述替代设计方法的性能比较

表8不同累积和模板的平均链长（ARL）

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8.4半抛物线V型模板

选择参数h=5和f=0.5的通用、标准或截顶V型模板。 可以选择截顶V型模板h与f参数的 不同取值，为特定大小的均值偏移提供快速响应。在其他情况下，如食品行业中，要求在提高均值大偏 移的检测速度的同时，保持累积和在监控小偏移方面的优势，则需更换模板类型。 一种解决方法是半抛物线V型模板，在截顶V型模板的窄端处嵌入一个曲线轮廊，如图9所示

兰抛物线V型模板的示意

图9所示半抛物线V型模板的基础是图5的通用截顶V型模板。然而，在靠近窄端的5个观测区 间，模板弯曲收窄到1.25。，而不是5c。。构造该模板的数据在表9给出。

表9半抛物线式V型模板组成数据

半抛物线V型模板的操作性能： 在均值偏移的整个范围内，半抛物线V型模板优于标准的零初始值截顶V型模板。然而，付 出的代价是，在目标值处的误警率几乎翻倍。 6 从误警率和在0.5倍标准差以上的均值偏移报警两个方面来讲，半抛物线V型模板都不如标 准的快速初始响应截顶V型模板。 从目标值处的误警率而言，半抛物线V型模板不如扁平鼻V型模板，而在均值偏移的检测方 面，二者效果相当。 上述特点体现在表8中，在均值偏移方面，对不同的累积和判定准则，各自的平均链长（ARL） 当

扁平鼻V型模板意在实现与半抛物线V型模板相同的效果，而准备程序更为简单。因此，它在实 际中是有用的，大偏移要求响应更快。这通过两个或两个以上截顶V型模板的叠加实现。图10所示 的扁平鼻V型模板就是把h=2.05和f=1.5的截顶V型模板，登加到h=5和f=0.5的标准截顶V 型模板上得到的。表8说明，在广泛的偏移范围内，扁平鼻V型模板几乎与半抛物线V型模板具有同 样好的监控效果，二者均优于标准截顶V型模板

图10扁平鼻V型模板

如图11所示，也可以根据完全V型模板，应用判定准则。该模板与截顶V型模板的性能特征完全 相同，在此不再资述。 图11表明判定线交于顶点O。这意味着完全V型模板不再有基点，将顶点O置于累积和图上，使 得感兴趣的最新观测点到顶点O之间有一段距离OA。OA称为前导距离d。与已讨论的标准截顶V 型模板相同.H=5g.，d=10倍观测单位

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虑快速初始响应（FIR）的

快速初始响应（FIR)的累积和图旨在减小想要检测的均值偏移的平均链长（ARL），同时受控平均 链长不会显著下降：这与相比较的普通判定准则有关。换言之，目标是在保持误警率几乎不变的条件 下，对偏移的响应更快。 表8之第2列与第5列的ARL比较表明，在均值偏移的整个变动范围（在0.5c。偏移时，反应链长 为29，而不是38；而在1c。偏移时，反应链长为6.4，而不是10)内，快速初始响应方案对均值偏移作出响 应的速度更快，而相较于465，同时保持一个相当的受控平均链长448。 表8同时表明，与半抛物线V型模板和扁平鼻V型模板相比，快速初始响应方案对偏移的响应更 快，同时SN/T 3744-2013 入出境集装箱内残留有毒气体检测规程，在受控平均链长（ARL=48)方面远优于半抛物线V型模板（ARL=235）和扁平鼻V型模板 ARL=300)。 使用快速初始响应，累积和不再从零开始累积，而是赋予累积和一个有利的初始值。方便起见，该 韧始值通常设置为判定区间的一半（h/2）。 快速初始响应（FIR）累积和图的合理性在于，如果过程在监测之前或一开始便已经出现了偏移，那 么，朝着数据波动的方向，半途开始累积和的累积过程，将加速均值偏移的信号。另一方面，如果过程没 有发生偏移，该累积和图自然退化为零初始值的情形，与常见的零初始值累积和图的效果一致。 当与表格化累积和图（见8.8）联合使用时，初始值需在上累积和和下累积和中同时使用

有时，累积和程序的主要目的，仅仅是为了检测非标准化情形，而不是为序列数据提供信息可视化 展示。如果这样，完全可以通过表格形式记录累积和信息，作为累积和图的替代。因此，用一种数值判 定准则代替常规累积和图所使用的模板。 上述方案称为表格化累积和。 V型模板用倾斜臂检测偏移。V型模板判定区间ho。允许累积和点具有一定的分散性。V型模板 判定线的斜率对应“目标值土fo”的过程平均水平

观测值一目标值 分别累积和制表： 观测值一（目标值十fo） 对检测均值上升的上累积和，如果累积和值变为负值，则将累积和值重置为0；并累积与制表： 观测值一（目标值一fo。） 对检测均值下降的下累积和，如果累积和值变为正值，则将累积和值重置为0。 这里，水平判定线设定在“土ho。”，而不是V型模板中，由基线"ho。”辐射确定的带有斜率“fo。”的判 定线。 从纯粹的统计决策而言，其效果恰好与相应的V型模板一致

8.8.2表格化累积和方法

对服从正态分布的测量数据特征，采用下述步骤建立和解释双侧累积和判定区间方案： 步骤1建立累积和参数： a）建立判定区间h。 6） 建立判定线斜率了。 设定目标值T。 d）估计过程标准误差。。。 步骤2计算累积和基准： 计算（T+fo）与（T一fo）。 步骤3为检测均值水平上升的上表格化累积和，准备一张带有多列的累积和表： e）观测数。 观测值。 g） 观测值一（T十fo。）。 h）［观测值一（T十fo。）］的累积和。 注：这是与常规的累积和图所用表相似的一张表，只不过用T十fo。代替T，而f。是等效V型模板判定线的 斜率。 步骤4为检测均值水平下降的下表格化累积和，准备一张带有多列的累积和表： 除下述步骤之外，与步骤3相同： 观测值一（T一fo）。 i）［观测值一（T一fo。）的累积和。 步骤5输人数据： k）输人数据并计算。 对累积和的正值：初始值设为O，对“L观测值一（T十fc。）的累积和”的所在列累积求和。如果 累积和在某一点变为负值，将其重置为0，并从0继续累积求和，直到累积和再次变为正值。如 果累积和触及或超出判定边界h6。，则显示向上偏移。 m）对累积和的负值：初始值设为0，对“[观测值一（T一fo。）的累积和”的所在列累积求和。如 果累积和在某一点变为正值，将其重置为0，并从0继续累积求和，直到累积和再次变为负值， 如果累积和触及或超出判定边界一ho。，则显示向下偏移。 该方法的一个例子在表10给出，而表格化方法的另一个例子在附录B给出

标准。该模式将被累积和图检测，并描绘为一个上升（或者下降）的梯度。

随着时间变化并且不断自我重复的一种模式，称为循环变化。例如，在一个工厂有三个工作班次， 且所有三个班次的工人对同一任务的工作表现不同。因为有给定的班次顺序，例如B班总是排在A班 之后，就会产生一个循环模式。累积和图显示该模式是周期性的，梯度从一个方向转到另一个方向，然 后再变回先前的方向.依此下去。

当参数或特征不能完全调整到期望目标值处，而且跟随失控信号、所作调整使参数或特征落在目标 水平的另一侧时，就会发生摆动。因此GB/T 22495-2008 粮油储藏 磷化氢发生器，累积和图在相反方向上发展一个梯度，并最终作出逆转先前所 作调整的信号。显然，这是最不令人满意的情形，并且宜通过谨慎选择初始目标值和随后寻求的最小调 整来避免。消除摆动的更详细讨论见9.3.1之步骤13c）