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应用最大熵原理分析水利工程经济效益的风险风险分析的依据是风险变量的概率特性，进行概率分析时一般根据所获得的一些先验信息设定先验分布。 以前用于设定先验分布的许多方法，都依赖于决策者的个性，即决策者的主观意念。而最大煸准则是一种有 一定意义的客观准则，由它设定的先验分布是惟一能够作出的无偏的假设[5]。 最大熵准则出自最大熵原理。1957年，Jaynes在统计力学中提出最大熵原理6]：“最少为偏见的概率分布 是这样一种分布，它使熵在已知信息的附加约束条件下最大化”。最大熵方法的基础是信息熵，此熵定义为信 息的均值，它是对整个范围内随机变量不确定性的量度。信息论中信息量的出发点是把获得的信息作为消除不 确定性的测度，而不确定性可用概率分布函数描述，这就将信息和概率论方法相联系；又因风险估计实质上 就是求风险因素的概率分布，因而可将信息、风险估计和概率论方法有机地联系起来，建立最大熵风险估计 模型：先验信息（已知数据）构成求极值问题的约束条件，由最大燒准则得到随机变量的概率分布[7]。
齐效益的风险指标为随机变量x（假定为连续型
式中R为随机变量所在的集合；m为随机变量x的矩的阶数，一般事先未知，需要在计算中根据具体问题确 定；n为影响随机变量x的风险因子数；b是保证变量有意义的量；M：为x的第i阶原点矩观测值，即样本的第 阶原点矩；f(x)为x的密度函数，正是模型所要求解的，模型的约束条件为m+2个。式（2)是fx）满足概率密 度函数的约束；式（4)是已知信息对fx)的约束（总体矩与样本矩相等）；式(5)为随机变量x与各风险因子的关 系表达式，需要分析者根据具体问题建立相应表达式。该模型表示在满足已知信息约束下，以熵最大为准则求 得风险指标的概率分布密度函数。
模型的求解是一个泛函条件极值问题。为了求得f(x)的表达式，可根据变分法引人 1db5301／t 36-2019标准下载，入2，，入m，令
：要使S这个泛函达到极值。由变分法，相应
ln[f(x)]+o+∑;x²= 0 f(x) = exp( o + ;x)
最大概率密度函数的解析形式，只要确定其中的参数入o，入1，入2，，入就可以完全确
从式（10)中求出各入：的数值解，可将它改写所
exp（x）dx/[mexp（x）dx]=H
求式（11)残差R；平方和的最小值minR就可得到各个入；的近似解。这是一个非线性优化问题，当1R;1≤E（e 为规定的允许误差）时，即认为式（11）收敛。
依照风险树的分析思路，对某水利枢纽的发电、防洪和灌溉3个部门进行了具体分析，得出其各自的风险 因子(表1)。然后，再对其进行分级处理，以减少计算工作量。这里将影响大和概率高的风险因子定为高级，次
之为中级，再次之为低级。进行风险分析时，一般只对高级风险因素加以分析和数量化。本文针对该枢纽的实 际情况，直接采用有关部门提供的有关参数，选定对其经济效益影响较大的几个风险因子（表2）作为基本因素。 再根据这些风险因子的物理意义，建立风险指标与各风险因子的关系表达式。考虑两种思路：一是直接对风险 因子进行组合，二是通过子系统对风险因子进行组合。
1基水利工程风险因壹汇总
银1 某水利工程风险因豪汇总
注：风险因素的级别用·标出。
2 某水利枢纽风险分析基本变量及其概率分布 les for risk analysis and their probability distribution of
3.1直接对风险因子进行组合
综合前面辩识出的风险因子（表1)，选取其中的高级风险因子作为总经济效益风险分析的 理意义及经济计算关系，建立总效益经济净现值Y与风险因子的表达式（基准点在计算期
on=f(xp）=[αx1+α2x2+ 5
式中n为经济计算期；i为社会折现率；α为水电的价格；α2为调峰效益系数，α2=Wa7，调峰电量W可据 运行资料统计得到，每千瓦时煤耗节约量值可由专门试验测定；β为特大洪水发生时引起的额外损失值，它 取为特大洪水损失值与多年平均损失值的差值分摊到各大洪水年的额外损失值；β2、βB分别为多年平均的农田
淹没面积数和城镇淹没人口数，可据经济计算期内洪水淹没情况统计得到；Y为灌溉效益系数，由已知资料确 影响不明显、泥沙淤积不严重时，防洪经济效益只取农田损失、城镇损失和年增长率即可。
该综合利用水利枢纽具有防洪、发电和灌溉效益，按风险树的思路，先对各子效益系统的风险因子进行组 合，再通过子效益系统的风险组合，得到总效益的概率特性。总效益的经济净现值Y的表达式为
式中i为社会折现率；n为经济计算期；S1、S2、S3分别为发电、防洪和灌溉经济效益通过最大风险分析模 型求解得到的多年平均值（期望值），34为系统年费用。 将式(12)、式(13)分别代人式(5)，并将表2数据代人上述最大熵模型综合楼排水管道技术交底，求解得到总效益经济净现值的最大 概率密度函数分别为
两个概率密度函数，可绘制其概率密度曲线和累积概率分布曲线（图1、图2）。 可以看出：直接组合方式时的经济净现值均值为28.284亿元，风险度为0.213，净现值小于零 从图2也可看到：风险组合方式时的经济净现值均值为28.282亿元，风险度为0.217，净现们 .008%。两种组合方法所求得的指标基本一致，说明这两种方法对该实例都是可行的。计集 枢纽总经济效益指标的风险性较小.经济性能比较可靠。
图1 直接组合时的密度曲线和累积概率曲线
中国人民银行济南分行发行库、营业办公用房施工组织设计（结构）图2风险组合时的密度曲线和累积概率曲线
Application of the maximum entropy principle to risk analysis of
ndation of China (No.50099624).